11 sınıf matematik fonksiyonlarda uygulamalar konu anlatımı

• Fonksiyonlarla İlgili Uygulamalar
• İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri (Parabol)
• Fonksiyonların Dönüşümleri

1. Fonksiyonlarla İlgili Uygulamalar

A) f(x) = ax + b şeklindeki fonksiyonların grafikleri ile ilgili uygulamalar

B) Fonksiyonun x-eksenini Kestiği Noktalar

Bir k gerçek sayısı için f(k) = o oluyorsa k sayısına f fonksiyonunun kökü (sıfırı) denir.

Örneğin; f(x) = 2x – 6 fonksiyonunun köklerini bulalım.
f(x) = 0
2x – 6 = 0 ise x = 3
f(3) = 0 olduğundan fonksiyonun kökü 3 tür.

Dikkat: Bir f(x) fonksiyonunun kökleri (sıfırları) aynı zamanda fonksiyon grafiğinin x-eksenini kestiği noktalardır.
Örneğin; f(x) = 3x + 15 fonksiyonu x eksenini;
3x + 15 = 0 ⇒ x = -5 olduğundan x = -5 için keser.

Dikkat: Bir f(x) fonksiyonunun grafiği x eksenini kesmiyorsa f(x) fonksiyonunun sıfırlayanı yoktur. Bundan dolayı
f(x) = 0 denkleminin çözüm kümesi de boş kümedir.

C) Fonksiyonun y-eksenin Kestiği Noktalar

Bir f(x) fonksiyonunun y eksenini kestiği nokta x = 0 için (yani f(0)) bulunur.

f(x) fonksiyonunun;

• x eksenini kestiği nokta (d, 0)
• y eksenini kestiği nokta (0, a)

şeklindedir.

Örneğin; f(x) = x2 + 5x + 7 fonksiyonunun y eksenini kestiği noktayı bulalım.
x = 0 için f(0) = 7 olur.

Dikkat: Bir f(x) fonksiyonu için;
f(0) = 0
oluyorsa “fonksiyon orjinden geçiyor” demektir.

Örnek:

Örnek:

D) Fonksiyonun Pozitif veya Negatif Olması

Bir fonksiyon grafiğinde;

1. Grafiğin x ekseninin üstünde olduğu aralıktaki x değeri için fonksiyon pozitif değerlidir.
2. Grafiğin X ekseninin altında olduğu aralıktaki x değerleri için fonksiyon negatif değerlidir.

Örnek:

E) Fonksiyonun Artan ve Azalan Olması

Bir f(x) fonksiyonunun tanım aralığındaki her x1 ve x2 değeri için;

1. x1 < x2 için f(x1) < f(x2) oluyorsa fonksiyon artandır.
2. x1 < x2 için f(x1) > f(x2) oluyorsa fonksiyon azalandır.

Örnek:

Örnek:

Örnek:

Örnek:

F) Fonksiyonun Maksimum ve Minimum (En Büyük ve En Küçük) Değeri

f: A → B ve f(x) bir fonksiyon olsun.

1. xm ∈ A olmak üzere A kümesindeki bütün x elemanları için,
   f(xm) > f(x)
   oluyorsa f(xm) fonksiyonun maksimum (en büyük) değeridir.
2. xn ∈ A olmak üzere A kümesindeki bütün x elemanları için;
   f(xn) < f(x)
   oluyorsa f(xn) fonksiyonun minimum (en küçük) değeridir. Örneğin;

Şekilde verilen f(x) fonksiyonunun grafiğinde tanım kümesindeki her x değeri için f(x) in [-4, 3] aralığında değer aldığını görüyoruz. f(x) in;

• maksimum değeri = 3
• minimum değeri = -4

2. Ortalama Değişim Hızı

A) Ortalama Değişim Hızı

Dikkat:

• Ortalama değişim hızının negatif veya pozitif çıkması sadece değişimin yönünü gösterir.
• Ortalama değişim hızı mutlak değerce ne kadar büyükse değişim hızı da o kadar büyüktür.

B) Doğrusal Fonksiyonlarda Ortalama Değişim Hızı

Örnek:

3. Parabol ve Parabol Çizimi

A) Parabol

Örnek:

Örnek:

Örnek:

B) Grafik Çizimi

1) f(x) = ax2 fonksiyonunun grafiği

f(x) = ax2 ifadesi;

f(x) = a(x – 0)2 + 0 olduğundan tepe noktası (0, 0) olur.

Yani f(x) = x2 gibi fonksiyonların grafikleri daima orjinden geçer. Bu fonksiyonda x için verilecek değerlere karşılık f(x) in değerleri bulunur.

Örnek:

Örnek:

2. f(x) = ax2 + k fonksiyonunun grafiği

f(x) = ax2 fonksiyonunun grafiğini y ekseni üzerinde

• pozitif yönde k birim öteleyerek ax2 + k
• negatif yönde k birim öteleyerek ax2 – k

fonksiyonunun grafiği elde edilir.

Örnek:

3. f(x) = a(x – r)2 fonksiyonunun grafiği

• f(x – r) fonksiyonunun grafiği, f(x) fonksiyonunun grafiğinin x ekseni üzerinde r birim pozitif yönde ötelenmesi ile
• f(x + r) fonksiyonunun grafiği, f(x) fonksiyonunun grafiğinin x ekseni üzerinde r birim negatif yönde ötelenmesi ile elde edilir.

O halde f(x) = a(x – r)2 fonksiyonunun grafiğinde f(x) = ax2 fonksiyonunun grafiğinin r birim pozitif yönde ötelenmesiyle elde edilir.

Dikkat: f(x)=a.(x-r)2+k
parabolünün tepe noktası koordinatlarının yani (r, k) nın bulunması ile de grafik çizilebilir. Burada f(x) = a(x – r)2 olduğundan k = 0 olur.

Dikkat: Bir parabolün y eksenini kestiği noktayı bulmak için fonksiyonda x = 0 yazılabilir.

Örnek:

4. f(x) = a.(x – r)2 + k fonksiyonunun grafiği

f(x) = a.(x – r)2 + k grafiği f(x) fonksiyonunun grafiğinin

• x ekseni üzerinde pozitif yönde r kadar
• y ekseni üzerinde pozitif yönde k kadar

ötelemesi ile elde edilir.

Örnek:

C) Tepe Noktası

Örnek:

4. Simetri Ekseni – En Büyük ve En Küçük Değer

A) Simetri Ekseni

Örnek:

B) En Büyük ve En Küçük Değer (Maksimum ve Minimum)

Örnek:

Örnek:

Örnek:

Örnek:

5. f(x) = ax2+bx+c Formunda Verilen Paraboller

A) f(x) = ax2+bx+c parabolünün grafiği

Örnek:

B) x Eksenini Kesme Durumu

C) y Eksenini Kesme Durumu

f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonu için

• f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun y eksenini kestiği nokta (O, c) noktasıdır.
• f(x) = ax2 + c fonksiyonunun y eksenini kestiği nokta (0, c) noktası olup, bu nokta aynı zamanda fonksiyonun tepe noktası koordinatıdır.

Örnek:

Örnek:

D) Katsayı İlişkileri

f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunda a, b, c katsayılarının işaretleri incelenirken;

• a nın işareti, kolların aşağı veya yukarı yönlü oluşana göre
• b nin işareti, T(r, k) noktasındaki r ye göre
• c nin işareti, y eksenini kestiği yere göre değerlendirilir.

Örnek:

6. Parabolün Fonksiyonunu Bulma, Grafiklerin Kesişimi

A) Tepe Noktası ve Bu nokta Dışında Başka Bir Noktası Belli Olan Paraboller

Örnek:

B) x Eksenin Kestiği Noktalar ve Bu Noktalar Dışında Başka Bir Noktası Belli Olan Paraboller

Bir parabol x eksenini (x1, 0) ve (x2, 0) noktalarında kesiyorsa fonksiyon
f(x) = a. (x – x1) . (x – x2) şeklindedir. Parabolün geçtiği diğer noktada kullanılarak a bulunur.

Örnek:

Örnek:

C) Birbirinden Farklı Herhangi Üç Noktası Belli Olan Paraboller

Örnek:

D) Parabol İle Doğrunun Kesişimi

7. Dönüşümler, Tek – Çift Fonksiyon

A) Dönüşümler

Örnek:

Örnek:

Örnek:

Örnek:

B) Tek ve Çift Fonksiyonlar

Örnek:

Örnek:

Örnek: